There is no agreed upon definition of chaos or turbulent flow. Experts say "you know it when you see it."

Turbulence or chaotic flow has a few characteristics, that it is unpredictable (depends sensitively on initial conditions), diffusive (mixes matters), dissipative (turns kinetic energy into heat), has high Renolds numbers, and consists of eddies on many scales.

Chaos is a deterministic dynamical system that is unpredictable. In a chaotic system, differences in initial states grow exponentially, so that any effective information will get lost in finite time steps. Because infinitely accurate information is impossible to obtain, the outcome is unpredictable despite being deterministic.

第一章 绪论

混沌广泛的存在于各种现象中: Navier-Stokes 方程定义的流体力学运动; Reynold's 湍流实验; 热对流; 长期天气预报; 种群动力学; 地震、股市、心电图.

确定的线性系统只出现简单的状态: 趋向定常态, 或趋向无穷. 不可能出现复杂的随机状态.

非线性的本质在于相互作用.

混沌侧重于确定的非线性系统的状态量随时间的不确定变化; 分型侧重于确定的非线性作用在空间形成的复杂结构.

第二章 单峰映象 (Logistic Map)

(公式略去) 状态量 $X_n \in [0,1]$ , 系统控制参数 $\mu \in [0,4]$ .

方程的解包括定常态, 周期2, 周期4, ……, 周期 $2^n$ 解.

定常状态满足: $x=f(x)$ . 解得 $x_1^∗ = 0$ , $x_2^∗ = 1-1/\mu$ . $x_1^∗$ 的稳定区间为 $\mu \in [0,1); x_2^∗$ 的稳定区间为 $\mu \in (1,3)$ . 周期2解满足: $x_b = f(x_a), x_a = f(x_b)$ , 即 $x = f(f(x))$ . 真正的周期2解满足 $x^2 - (\mu+1)/\mu x + (\mu+1)/\mu^2 = 0$ . 稳定区间为 $\mu \in (3,1+\sqrt{6})$ 周期4, 周期8, … 周期 $2^n$ 解都有相应的稳定区间. 当 $\mu > \mu_{\infty} \ge 3.569945627$ 时, 周期趋于无穷大, 出现混沌.

Li-York 定理 (“周期3意味着混沌”): 设映射 $f:[-1,1][-1,1]$ 连续, 且f具有周期3轨道, 则f具有任意周期的轨道.

第三章 混沌的随机性和规律性

差别很小的初值在有限步“伸长”和“折叠”后, 有效信息全部丢失, 此后结果完全随机: 这就是混沌随机性的来源.

Lyapunov exponent 是 n 次迭代后初始误差的平均增长率: $LE = \lim_{n \to \infty} 1/n \ln | \delta x_n / \delta x_0 |$. 正的 Lyapunov 特征指数是混沌系统的特征, 它定量表示了初条件的敏感性. Chaotic systems typically have positive Lyapunov exponents.

Logistic map 是一种无特征尺度现象, 但是存在不变量.

Feigenbaum 自相似泛函方程

第四章 混沌轨道

保守系统: 一般指能量不随时间变化的系统. 耗散系统: 指能量随时间减少的系统.

pattern 斑图: 系统的整体流形.

  • 鞍点同宿轨道: 孤立波;
  • 鞍-焦点异宿轨道: 振荡冲击波;
  • 鞍-结异宿轨道: 冲击波;

Silnikov 同宿轨道: 鞍点同宿轨道, 鞍-焦同宿轨道. 只要有 Silnikov 同宿轨道, 就有混沌.

自治动力系统平衡态的性质只反映平衡态附近解的性质, 是动力系统的局部性质. 在二维以上系统, 考察系统的整体性质与局部性质同样重要.

不同维度自治动力系统可能出现的最复杂的轨道:

  • 一维系统, 平衡态(奇点);
  • 二维系统, 周期轨道(极限环);
  • 三维以上系统, 混沌轨道.

第五章 混沌吸引子

吸引子: 动力系统长时间演化的极限状态, 即 $t \to \infty$ 时系统状态的归宿.

只有耗散系统才有吸引子, 可能存在4种吸引子:

  1. 定常吸引子: 稳定结点, 稳定焦点
  2. 周期吸引子: 稳定极限环(沿环切线方向距离不变, 两个法方向指数衰减)
  3. 准周期吸引子: 三维相空间中的二维封闭环面(轨线的两个圆频率之比为无理数, 轨线密布整个环面; 沿环面两个方向距离不变, 法方向指数衰减)
  4. 混沌吸引子

m 维时间连续动力系统的每一个分量都可以求出相应的 Lyapunov 指数 $\text{LE}_i$ , 将这 m 个 Lyapunov 指数按大小顺序排列, 就构成了该吸引子的 Lyapunov spectrum.

正的 Lyapunov 指数是混沌吸引子的重要特征, 表示两条相邻轨道在该方向以指数形式分离. 从整体上说, 耗散系统中的驱动因素——局部伸长, 和耗散因素——折叠, 使得所有的轨道收缩到有限范围.

Table: Lyapunov spectrum by attractor

吸引子\维度 一维 二维 三维
定常吸引子 { - } { -, - } { - , - , - }
周期吸引子 - { 0, - } { 0 , - , - }
拟周期吸引子 - - { 0 , 0 , - }
混沌吸引子 - - { + , 0 , - }

第六章 无特征尺度现象的描述

特征尺度: 特定现象的某一特性的一般大小, 是个统计概念.

无特征尺度现象: 自然界中一些非常复杂的现象(或几何体)具有多种尺度(或者说无特征尺度), 并且在不同的尺度上呈现不同的性质.

分形: 具有自相似结构的无特征尺度的复杂几何体. 【当然也可以用于描述函数图象, 如气候要素曲线. 】

分形是一种能够用于描述复杂现象的工具.

用尺度为 r 的尺子度量 m 维单位几何体, 测量个数为 $N(r) = 1/r^m$ .

拓扑维: 确定一个几何对象中一点的位置所需要的独立坐标数目. 【坐标用实数表示】 $d = \ln N(r) / \ln 1/r$

Hausdorff 分数维: $D_0 = \lim_{r_0} \ln N(r) / \ln 1/r$ .

分形的拓扑维 < 分形的分数维 $D_0$ < 分形所在空间维数

分形的性质随尺度变化, 但是具有不变量. 分数维就是无特征尺度系统的不变量. 【不具有自相似结构的无特征尺度系统一定有不变量么？】

Kaplan-Yorke 假设: 设初始时刻相空间内混沌吸引子附近的一个单位立方体, 经过伸长、折叠, $\tau$ 时刻的体积为 $V(\tau) = e^{(\text{LE}1 + \text{LE}_3) \tau}.$ 用边长为 $e^{\text{LE}_3 \tau}$ 的小立方体度量这个体积, 需要的小立方体的个数为 $N(r) = e^{(\text{LE}_1 + \text{LE}_3) \tau} / e^{3 \text{LE}_3 \tau}.$ 得到混沌吸引子的分数维 $D = \lim{r\to0} \ln N(r) / \n 1/r = \lim_{r\to0} (\text{LE}_1 + \text{LE}_3

  • 3\text{LE}3) \tau / -\text{LE}_3\tau = 2 + \text{LE}_1 / |\text{LE}_3|$. 类似的, 高维系统混沌吸引子的分数维为 $D = j + \sum{i=1}^j \text{LE}i / |\text{LE}{j+1}|$ , 其中 j 满足 $\sum_{i=1}^j \text{LE}i \ge 0$ , $\sum{i=1}^{j+1} \text{LE}_i < 0$ .

🏷 Category=Modeling